Les deux orthographes existent, mais elles n'ont pas la même origine.
Espresso est le terme italien d'origine. Il désigne un café obtenu grâce à une extraction sous pression.
Expresso est la version francisée, largement utilisée en France depuis de nombreuses années.
Aujourd'hui, les deux formes sont admises dans l'usage courant, même si espresso est privilégié dans l'univers du café et par la majorité des fabricants de machines.